有关圆锥曲线焦点三角形的面积公式的证明与应用技巧

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圆锥曲线上的一点与焦点所构成的三角形，被称为焦点三角形.圆锥曲线的焦点三角形具有对称性，我们根据圆锥曲线的方程可以快速求得焦点的坐标，根据圆锥曲线的定义确定焦点弦的长度以及焦点三角形的面积.下面主要谈一谈有关圆锥曲线焦点三角形的面积公式的证明与应用技巧.

一、椭圆的焦点三角形的面积公式

椭圆的焦点三角形由椭圆上的一点（与焦点不在

一条直线上），与椭圆的左、右焦点构成.设 P 为椭圆上

的一点， F1，F2 为椭圆的左、右焦点， ∠F1PF2=θ ，则

证明：设 由余弦定理可得： （20则|P|P||P|P- 因为 |PF1|+|PF2|=2a ，所以 可得|PF|PF2|=1+c0s0，所 我们只要知道了椭圆的短轴长以及两条焦点弦的夹角，就能直接运用椭圆焦点三角形的面积公式求得焦点三角形的面积.运用该面积公式，可以大大减少计算量.

例1.如图，已知椭圆 的右 焦点为 F ，过原点 o 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点. 若 ∠AFB=120∘ ，且 ，求椭圆 C 的离心率.

解：设椭圆 C 的左焦点为 F′ ，连接 AF′∖BF′ ，

根据椭圆的对称性可知四边形AFBF'为平行四边形，

因为 ∠AFB=120∘ ，所以∠FAF′=60∘ ，

又 （204号

由椭圆焦点三角形的面积公式，可得：

S△FAF=|AFAsin∠FAF'=²ta

即 ，

因为b²=a²-c²，所以b²

解得 或

而0

我们根据椭圆的对称性可知四边形 AFBF′ 为平行四边形，由此得出S△AB= 由椭圆焦点三角形的面积公式可得S△PAr=b²tan0。（剩余1579字）