二阶正规变化函数下的随机权和

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中图分类号：0212.62 文献标志码：A doi：10.3969/j.issn.2095-4298.2025.03.006

Abstract：The randomly weighted sums with heavy-tailed distribution have played an important role in finance，insurance，risk management and other fields.In this paper，the distribution of1-dimensional and 2-dimensional randomly weighted sums under the tail distribution with second order regular variation were studied，and an accurate expression for the measure of distributed parameter was provided.Finally，an example was given to verify the distribution of 2-dimensional randomly weighted sums.

Key words：second order regular variation；randomly weighted sum；tail distribution；Radon measure

随机现象在现实生活中普遍存在，且在随机现象背后往往隐藏着某些确定的概率规律，随机权和模型是解决该类问题的有效工具之一.随机权和与排队论、极限理论、通讯等都有着密切联系，在金融风险、保险风险、风险管理等领域得到了较好的应用[1-2].近几年，学者们对随机权和的尾部特征越来越关注，特别是在重尾分布的情形下，对随机权和以及它的极大值尾部概率的渐近性进行了研究[1-5].常见的重尾分布簇包含控制变化分布簇、一致变化分布簇、长尾分布簇、扩展正规变化分布簇、正规变化分布簇[6和次指数分布簇[7].对尾分布为二阶正规变化函数的研究及其相关应用可参考文献[8—11].Chen等[5]借助 Breiman 定理给出了二元随机变量在尾分布满足非标准的一阶正规变化结构下的随机权和的展开式.本文主要应用正规变化分布簇中的二阶正规变化函数，将文献[5]的结果推广到更加一般的二阶情形.

1 正规变化函数

定义1[12] 若随机变量 X 的尾分布函数 ，满足

则称 X 是正规变化的，记为 X∈VR（-α） 或 为正规变化指数

通常情况下，当 α=0 时，尾分布函数记为 l（x） ，此时有 （tx）=1，>0，称X为缓慢变化的，且X∈VR（-α） 的等价条件为存在缓慢变化函数 l（x） ，使得 ：

记 ，可得 X∈VR（-α） 的等价定义.

定义 2[12] （204号 对于随机变量 X ，存在一个 R+ （正实数）上的非负Radon测度 ，使得

其中 B⊂R+ 为任意Borel集，远离。（剩余5210字）