调和Bergman空间上的斜Toeplitz算子

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中图分类号：0177.1 文献标志码：A 文章编号：1671-5489(2025)06-1609-06

Slant Toeplitz Operators on Harmonic Bergman Space

CUI Puyu，ZHA Lihua (Schoolof Mathematics， Liaoning Normal University，Dalian l16029，Liaoning Province，China)

Abstract: Firstly，we introduced the W operator on harmonic Bergman space and gave the concept of slant Toeplitz operators. Secondly，we studied the spectral structure and compactness of the W operator，and gave the integral representation of slant Toeplitz operators，which provided a theoretical basis for subsequent research on the compactness and boundedness of slant Toeplitz operators.

Keywords: harmonic Bergman space; slant Toeplitz operator; integral representation

Toeplitz[首次引入了以有界可测函数 ϕ 为符号的Toeplitz算子 Tϕ 的概念，并应用于小波分析和微分方程等领域．目前，关于Hardy 空间上Toeplitz算子的研究备受关注[2-5]．例如： Ho[4] 引进了Hardy空间 H2 上以 φ 为符号的斜Toeplitz算子的概念，并讨论了该类算子的谱及 C* 代数等若干基本性质；文献［5]对斜 Toeplitz 算子进行了更深人的研究；安恒斌等[6]将斜 Toeplitz算子推广到Bergman空间，并给出了有限个斜Toeplitz算子的乘积 s 是紧算子的充要条件是其Berezin变换 趋向于 0(∣z∣1) ；Singh等[7］将斜Toeplitz 算子推广到了 k 阶斜Toeplitz算子，并给出以余解析函数和调和函数为符号的 k 阶斜 Toeplitz算子在Fock空间上的交换性．此外，文献[8-9]将斜Toeplitz 算子的概念推广到高维空间和模空间，并得到了相应的结果．由于斜Toeplitz算子在小波分析等领域发挥了重要作用，因此该研究具有重要的理论意义[10-11]．本文先介绍W算子("抹零算子")，然后引人调和 Bergman空间上斜Toeplitz算子的概念，并研究其算子性质.

1预备知识

设D表示复平面上的开单位圆盘， dA 表示复平面上的标准化面积测度， L2(D,dA) 是 D 上关于测度dA平方可积的Lebesgue空间.Bergman空间 La2 是 L2(D,dA) 中所有复值解析函数构成的闭子空间．调和Bergman空间 b2 是 L2(D,dA) 中所有复值调和函数构成的Hilbert空间．调和Bergman空间

b2 可表示为

其上内积有对应的表示

La2 上的再生核为

从而得 b2 上的规范化再生核为

设 Q 是 L2(D,dA) 到 b2 的正交投影，积分表示为

其中 f∈L2(D,dA) .设 Tφ 为在 b2 上以 φ∈L2(D,dA) 为符号的Toeplitz算子，满足

Tφf=Q(φf),f∈b2.

本文借助 W 算子的概念，引出斜Toeplitz算子的定义.

定义1定义调和Bergman空间 b2 上的 W 算子为

其中 z∈D

定义2设 φ∈L∞(D,dA) ，称 Bφ:=WTφ 是符号为 φ 的斜 Toeplitz 算子.

注1当符号函数 φ 为常值函数时，斜Toeplitz算子 Bφ 退化为 W 算子.

2 W算子

命题1W为 b2 上的线性有界算子，并且 ：

证明：设 ，则

从而 W ．另一方面，

因此，

命题2W*x"=2 如果 f∈b2 ，则 （204号

直接计算可得

由命题1知， ，因此 ：

下面研究 W 算子的谱结构.

引理1 如果复数 λ 满足 ， k 为正整数，则

证明：直接计算可得

易得级数 的收敛半径为 ，故

引理2 的边界不包含W的特征值.

证明：假设存在复数 λ,f∈b2 满足 且 Wf=λf ，其中 ，并且f(z) 不恒为0，则

比较式(1)两边系数，得 a0=0 ，递推可得

b2tk=λb2t-1k=⋯=λtbk,t=0,1,2,⋯,k=1,2,⋯.

进而

等式(2)表明 ak=bk=0(k=1,2,⋯) ，因此 f(z) 恒为0，与 f(z) 不恒为0矛盾.

下面用 σ(T),σp(T),σe(T) 分别表示线性算子 T 的谱、点谱和本性谱

命题3 ，

证明：设 ， k 为一个正整数．由引理1知， Λλ(k)∈b2 ．又因为

所以 λ∈σρ(W) ．另一方面， W ，因此 ．由引理2知， 的边界不包含W的点谱，从而

注意到对所有 k≠l ，都有

从而得 ，其中 ．表明 ，因而 进而

命题4 σp(W∗)={1} ，且对应的特征向量为常值函数.

证明：反证法．设 g∈b2 ，使得 W*g=0 ，其中 且 g′(z) 不恒为0,从而有

比较式(3)两边的系数可得 cn=dm=0,n=0,1,⋯,m=1,2,⋯, ，即 恒为0，矛盾.

设 λ≠0 为 W∗ 的一个特征值，并设

由命题2知

比较式(4)两边的系数，可得 a2n+1=b2m+1=0 ， n,m=0,1,⋯ ，从而得

同理，多次比较式(5)两边的系数，可得 an=bm=0 ， n,m=1,2,⋯ ，因此式（4）成为 a0=λa0 ．由于a0≠0 ，所以 λ=1 ，且相应的特征向量为常值函数.

命题5如果 f,g∈b2 ， f,g 均为解析函数或者均为余解析函数，且至少其中之一为有界函数，则有 W(f(z2)g(z))=f(z)W(g(z)) ：

证明：假设 f,g 是余解析的，不妨设 ， .则一方面有

另一方面，有

因此， W(f(z2)g(z))=f(z)W(g(z)) ．假设 f,g 是解析的，同理可证.

3斜Toeplitz算子的积分表示

设 s 为定义在调和Bergman空间 b2 的线性有界算子， S 的Berezin变换 ，其中 是 b2 上的规范化再生核.

对于 z∈D ，定义函数 (1-z)²，w∈D.易得其有如下的级数表达式J。（剩余13091字）