解三角形中的最值和范围问题

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近年高考通常以解三角形为背景的求值范围与最值问题是高考的热点，常在解答题前两题或选填题靠后位置出现．准确理解题意、灵活运用正弦、余弦定理对三角函数式进行边角互化是解题的关键．解题中要关注“边角”隐含条件，领会化简要领，熟练运用基本不等式及函数方程思想．

例1.（2019年全国Ⅲ卷第18题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA+C2=bsinA.

（1）求B；

（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．

解法1：（1）由题设及正弦定理得sinAsinA+C2=sinBsinA．

因为sinA≠0，所以sinA+C2=sinB.

由A+B+C=180°，可得sinA+C2=cos（π－B2）=cosB2=sinB，

故cosB2=sinB=2sinB2cosB2．

因为cosB2≠0，故sinB2=12，因此B=π3．

（2）由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC=12acsinB=34a．

由正弦定理得a=csinAsinC=sin（2π3－C）sinC=32tanC+12．

又因为△ABC为锐角三角形，所以0<A<π2，0<C<π2，即0<2π3－C<π2，

解得π6<C<π2，所以tanC∈（33，+SymboleB@），故cosC=2cos2C2－1=2×15－1=－35，从而38<S△ABC<32．

故△ABC面积的取值范围是38，32．

解法2：（1）由解法1得sinA+C2=sinB，

两边平方得sin2A+C2=sin2B，即1－cos（A+C）2=sin2B．

又A+B+C=180°，即cos（A+C）=－cosB，所以1+cosB=2sin2B，

进一步整理得2cos2B+cosB－1=0，解得cosB=12，因此B=π3.

（2）由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC=34a．

因为△ABC为锐角三角形，且c=1，B=π3，

所以cosA=b2+1－a22b>0，cosC=b2+a2－12ab>0，即b2+1－a2>0，b2+a2－1>0.

又由余弦定理得b2=a2+1－a，所以2－a>0，2a2－a>0，即12<a<2，

所以38<S△ABC<32，故△ABC面积的取值范围是38，32．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式相互转化。（剩余4773字）