强运算建模之基 赋探究创新之能
2025年中考“数与代数”专题解题分析
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关键词：中考试题；数与代数；特点分析；典例剖析；备考建议中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8284（2025）12-0017-11引用格式：．强运算建模之基赋探究创新之能：2025年中考“数与代数”专题解题分析[J]．中国数学教育（初中版），2025(12)：17-27.
初中阶段，数与代数领域包含“数与式”“方程与不等式”“函数”三个主题．“数与式”是代数的基本语言，关注数与式的运算和推理；“方程与不等式”揭示了数学中最基本的数量关系，是一类应用广泛的数学工具；“函数”主要研究变量之间的关系，探索事物变化的规律．2025年全国各地区初中学业水平考试（以下统称“中考”）数学试卷中数与代数领域的试题落实了《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）的理念，呈现了聚焦核心知识、突出综合应用、关注探究过程、着力创新思维等特点，凸显了对抽象能力、推理能力、运算能力、模型观念和创新意识等数学核心素养主要表现的考查，因此，教师在教学中应注重让学生掌握通性通法，提升建模能力和探究能力，深化学生对学科本质的理解，从而促进其数学核心素养的发展的基本工具．《标准》将“运算能力”作为义务教育阶段核心素养的主要表现之一，要求能够明晰运算的对象和意义，理解算法与算理之间的关系；能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题；能够通过运算促进数学推理能力的发展．《标准》中涉及的初中阶段的运算内容既有实数的运算，又有代数式的化简与变形、对代数式的结构和意义的探讨、列方程与不等式，以及研究函数的性质等．2025年全国各地区中考数学试卷中数与代数领域的试题重视对基本代数运算内容的考查，注重考查通性通法，形式灵活多样，难度适中，引导学生重视核心知识.
例1（广东卷）在解分式方程 时，小李的解法如下：
一、试题特点分析
第一步：
第二步： 1-x=-1-2 ：
第三步： -x=-1-2-1 ：
第四步： x=4 ：
第五步：检验：当 x=4 时， x-2≠0
1.聚焦核心知识，注重通性通法运算是数学研究的基本对象，也是解决数学问题第六步：所以原分式方程的解为 x=4
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，试写出你的解答过程.
目标分析：该题主要考查分式方程的解法，要求学生理解分式方程的概念，掌握解分式方程的算法与算理.该题的设问中让学生指出解答过程中的关键步骤（去分母）及其依据，找出解答过程中的错误，并给出正确的解答过程，旨在引导学生对自己的运算过程进行反思和纠错，明确运算过程中每一步的算理.
解法分析：解分式方程一般遵循“一去，二解，三检验”的过程．在与数学运算相关的教学中，教师应引导学生遵循“法当循理”的原则，既要引导学生知道算法，又要强调对算理的理解，使学生在解题过程中避免因步骤跳跃、缺少依据而濒繁出错．在分式方程的运算过程中，第一步是去分母，其依据是等式的基本性质，即在方程的两边都乘最简公分母．但需要注意的是，该分式方程的右边有两项，不能漏乘，特别是不要漏乘不含分母的项，这就是小李的解答过程不正确的原因.
正确的解答过程如下：将分式方程1-= 去分母，
整理，得 1-x=-1-2x+4 移项并合并，得 x=2 检验：当 x=2 时， x-2=0 ：
所以原分式方程无解.
题源分析：《标准》对分式方程的要求是掌握等式的基本性质，能解可化为一元一次方程的分式方程，人教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”)八年级上册“15.3分式方程”介绍了分式方程，要求掌握分式方程的概念、分式方程的解法及分式方程的实际应用．该题的问题情境是模拟学生在实际解分式方程过程中可能出现的错误.通过这样的设计考查学生对解分式方程一般方法及其算理的掌握程度．学生在解分式方程过程中常见的失误有： ① 漏乘无分母项； ② 去分母时，分子是多项式时没有加括号； ③ 去括号时漏乘系数； ④ 去括号时没有变号； ⑤ 移项未变号； ⑥ 解完一元一次方程后未检验．值得注意的是，在运用分式方程解决综合性问题时，检验是解分式方程的重要步骤，也是分式方程概念的外延．在教学中，教师要着重讲解分式方程为什么要检验，如何检验，增根是如何产生的，通过例题和练习让学生在出现错误、认识错误、改正错误过程中巩固自身的运算能力，总之，运算能力有助于学生形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度.
类题赏析：2025年全国各地区中考数学试卷中，考查解分式方程的试题较为常见.类似的试题有上海卷第20题、浙江卷第18题等；与分式运算相关的试题也有很多，如陕西卷第17题（化简： 考查分式的化简，福建卷第19题（先化简，再求值： ，其中 ）考查分式的运算和实数的运算，北京卷第19题（已知 a+b-3= 0，求代数式 的值）考查运用整体思想代人求值.
拓展练习：（重庆卷）求不等式组： 的所有整数解.
答案：-1，0，1.
2.创设真实情境，突出综合应用
2025年全国各地区中考数学试卷中数与代数领域的试题注重创设真实情境，从社会生活、科学和学生已有数学经验等方面人手，选择贴近学生生活经验、符合学生年龄特点和认知特点的素材，让学生在解决数学问题的过程中感受数学在现实世界的广泛应用，体会数学是认识、理解、表达现实世界的工具、方法和语言，发展学生的抽象能力，强化模型观念和应用意识.
例2（湖北卷）某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克.
（1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克?
（2）妈妈让小明再到这家商店买A，B两种水果， 要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元. 设小明买A水果 m 千克.
① 若这两种水果按标价出售，求 m 的取值范围.
② 小明到这家商店后，发现A，B两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折（注：“打七五折”指按标价的 75% 出售）.若小明合计付款48元，求 m 的值.
目标分析：该题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式及一元一次方程的应用．题中设置了“商店销售A，B两种水果”的前提，给出“小明陪妈妈按标价购买”“小明自己按标价购买”“小明按照优惠价格购买”的三个情境，要求学生理解合计付款与A，B两种水果的购买价格和购买质量之间的关系，理解“多买1千克”“按标价出售”“打七五折”“不超过50元”“超过1千克的部分”等含义，并将它们转化为数学模型，运用方程（组）或不等式知识进行求解，该题主要考查学生的抽象能力、运算能力、模型观念和应用意识.
解：（1）设购买甲种水果 x 千克，购买乙种水果 y 千克，根据小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B 两种水果共3千克，合计付款46元，列方程组 (x+y=3 ， 解得{x=2， (y=1, 即购买甲种水果2千克， 购买乙种水果1千克.
式”例3的“商场购物”问题与之类似，考查学生建立一元一次方程、二元一次方程组和一元一次不等式的模型意识．解此类题时，学生常见的失误是不能正确建立方程（组）和不等式模型，或在解方程（组）和不等式时出现错误.
类题赏析：2025年全国各地区中考数学试卷中，以购买商品为问题情境的试题有很多．例如，湖南卷第22题以“制作艾草香包”为背景，以“购买香料的原材料”为情境命制；河南卷第20题以“支持惠农富农”为背景，以“从合作社购买苹果”为情境命制；四川成都卷第24题以“第12届世界运动会”为背景，以“购买吉祥物挂件”为情境命制；等等．又如，内蒙古卷第15题以“采摘机器人”为主题，广西卷第21题以“高速费优惠”为主题，河北卷第22题以“固体的线膨胀”为主题，考查学生综合应用代数式、方程（组）和不等式等内容来分析和解决实际问题的能力.
拓展练习：（江西卷）某文物考古研究院用 1:1 复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验 (如图1).用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（出酒率 )如表1所示.
(2） ① 由题意，可知小明买了A水果 m 千克，买 B水果 千克， m>0. ，根据合计付款不超过50元， 列不等式 14m+18(m+1)⩽50 ，解不等式可得 0
② 根据小明合计付款48元，列方程 14×0.75m+ 18×1+18×0.75×(m+1-1)=48 ，解得 m=1.25
题源分析：《标准》强调，教学中应当让学生经历对现实问题中量的分析，借助用字母表达的未知数，建立方程表达等量关系，或者建立不等式表达不等关系．该题以日常生活中的购买水果为问题情境命制，从“小明陪妈妈买水果”到“小明帮妈妈买水果”，从“按商场标价购买”到“按商场优惠价购买”，情境创设真切，贴近学生生活实际；问题设计合理，设问方式清晰明确，有助于提升学生运用方程和不等式知识解决问题的能力.该类题在各版本初中数学教材中都有出现.人教版教材七年级上册“3.4实际问题与一元一次方程”的探究2和七年级下册第8章章引言的“球赛积分”问题、七年级下册“9.2一元一次不等
表1
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍.
（1）第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？（2）受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的 80% ．若粮食糟酷中大米占比约为 ，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？
答案：（1）第一次实验用了40公斤粮食糟醅，20公斤芋头糟醅；（2）需要准备37.5公斤大米，
3.关注探究过程，强化数学本质
2025年全国各地区中考数学试卷中，很多数与代数领域的试题以生活现实和其他学科现实中的问题为素材，设计学生熟悉而有探索价值的问题，让学生在解答试题的过程中不断经历“自主发现和提出问题一分析和转化问题一解决问题”的过程，从而深入理解数学知识的发生发展过程，以及数学问题解决的方式、方法和经验，强化学生对数学学科本质的理解.
例3（内蒙古卷）【问题背景】综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图2所示.
保温 温度健康节能 加热60调节抑菌休眠 C
【外形参数】如图3，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线 L1 、中间的矩形ABCD和下方的抛物线 L2 组成．抛物线 L1 的高度为 8cm ，矩形ABCD的边 AB=8cm ， BC=6cm ，抛物线 L2 的高度为 4cm 在装置内部安装矩形电子显示屏EFGH，点 E ， F 在抛物线 L2 上，点 H ， G 在抛物线 L1 上.
二次函数的解析式，以及二次函数的图象与性质，题中以“设计一个家电装置图案”为主题开展综合与实践活动，先让学生了解装置图案的几何特征和相关数据，然后建立平面直角坐标系，通过坐标来认识图形，运用二次函数来刻画图形特征，最后综合利用二次函数相关的知识来解决实际需求．该题主要考查学生的几何直观、抽象能力、运算能力、模型观念和应用意识.
解：（1）由矩形ABCD的性质，可得 CD=AB=8 ，AD=BC=6 ， CD//AB ， BC//AD ，从而可得 B(8, 0) C(8,6), D(0, 6)
图2
（2）如图5，由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线 L1 于点 M ，交抛物线 L2 于点 Q ，交矩形ABCD于 N ， P 两点，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线 MQ 是抛物线 L1 和 L2 的对称轴， ， ∠DNP=∠APN=90∘ 由矩形 DAPN 中 NP=AD=6 ，抛物线 L1 的高度为 8cm ，抛物线 L2 的高度为 4cm ，直线 MQ 是抛物线 L1 和 L2 的对称轴，即可得出抛物线 L1 和抛物线 L2 的顶点坐标分别为M(4, 14) ， Q(4,ε-4) ．分别设抛物线 L1 和 L2 的表达式为 y=a1(x-4)2+14 ， y=a2(x-4)2-4 ，将点 D(0, 6) 代入 L1 的表达式，将点 A(0, 0) 代人 L2 的表达式，可得抛物线 L1 的表达式为 ，抛物线 L2 的表达式为 ：
图3
【问题解决】如图4，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以 AB 边所在的直线为 x 轴，以 AD 边所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系．试结合外形参数，完成以下任务.
（1）直接写出 B ， C ， D 三点的坐标
（2）直接写出抛物线 L1 和 L2 的顶点坐标，并分别求出抛物线 L1 和 L2 的函数表达式.
（3）为满足矩形电子显示屏EFGH的空间要求，需要EH边的长为 15cm ，求此时 EF 边的长.
目标分析：该题主要考查二次函数的图象与几何综合、矩形的性质、平面直角坐标系、待定系数法求
图4图5
(3）由装置整体图案为轴对称图形，可得 EF⊥ MQ，HG⊥MQ，证明 HE⊥Ox. 设 xE=xH=n ，则 yH= ， .则 6n+6=15 解得 xE=2 ，由抛物线的对称性可得 EF=4. （204号题源分析：《标准》强调，教学中要关注数学知识与实际的结合，引导学生识别实际问题中的常量、变量及其意义，通过对实际问题中变量的分析，建立两个变量之间变化的依赖关系，然后用数学的思维探索、分析和解决问题.该题源于人教版教材九年级上册“22.3实际问题与二次函数”的探究3“抛物线拱桥”问题，通过分析实际问题中的几何特征，从建立平面直角坐标系、引入变量、分析变量间关系的角度得到函数解析式，然后利用二次函数相关知识解决实际问题，既关注实际问题的探究过程，又强化对函数本质的理解.
类题赏析：2025年中考湖北武汉卷第22题以“羽毛球飞行路线”为主题设计综合与实践活动，先是借助表格数据建立二次函数模型，进而应用模型解决实际问题，用数学方法探究发球高度和球的落地点与发球方式之间的联系，类似的试题还有重庆卷第22题、陕西卷第25题等.
拓展练习：（吉林卷）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关，
实验过程：如图6，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面 20cm 的高度分别缓慢浸人到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计.）
图6
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关，跟液体的密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大.
总结公式：当小铝块位于液面上方时， FP,H= G## ；当小铝块浸入液面后， Fff,ℏ=Gff,ℏ-Fℏ,ℏ ：
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数 FPP （N）与小铝块各自下降的高度 x （ cm ）之间的关系如图7所示，
图7
【解决问题】
（1）当小铝块下降 10cm 时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数.(2）当 6⩽x⩽10 时，求弹簧测力计A的示数 FP(P) 关于 x 的函数解析式.（3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降 8cm 时，甲液体中的小铝块受到的浮力为 m (N)，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为 m (N)，则乙液体中小铝块浸入的深度为 n ( cm, ，直接写出 m ， n 的值.答案：（1）弹簧测力计A的示数为 2.8N ，弹簧测力计B的示数为 2.5N （2） Fffjj=-0.3x+5.8 （ 6⩽ x⩽10 .（3） m=0.6,n=1.6.
4.着力创新思维，考查素养水平
2025年全国各地区中考数学试卷中有很多新定义试题，其背景新颖、创新性强、综合性强、应用性强、灵活性强，较为全面地考查了学生数学核心素养的发展水平．这些新定义试题要求学生在阅读理解的基础上注重深度思考，依据题目信息分析新定义的特点，弄清楚新定义的性质，联系所学知识和方法，实现信息的迁移，从而达到灵活解题的目的.
例4（湖南·长沙卷）我们约定：当 x1 ， y1 ，x2 ， y2 满足 (x1+y2)2+(x2+y1)2=0 ，且 x1+y1≠0 时，称点 与点 为一对“对偶点”.若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”.根据该约定，解答下列问题.
（1）试判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打 ，错误的打‘ ⋅×′′ ）
①函数y=k （k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”.（ ）
② 函数 y=-2x+1 一定不是“对偶函数”.（
③ 函数 y=x2+x-1 的图象上至少存在两对“对偶点”（
(2）若关于 x 的一次函数 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 （ ， b2 都是常数，且 b1b2
(3）若关于 x 的二次函数 y=2ax2-1 是“对偶函数”，求实数 a 的取值范围.
目标分析：该题考查学生对新定义的理解，以及对反比例函数、一次函数和二次函数的解析式、一元二次方程根的判别式等知识的应用．该题要求学生读懂题意，理解“对偶点”“对偶函数”的含义，结合已知函数的解析式探究与“对偶点”“对偶函数”相关的概念辨别、面积计算和取值范围计算等问题，旨在考查学生在新定义下的即时学习能力和知识迁移应用能力，承载了对学生抽象能力、推理能力、运算能力、创新意识和应用意识等数学核心素养主要表现水平的考查.
解：（1）根据“对偶点”的定义，判断 ① 正确
设 (n,-2n+1) 和 (2n-1,α-n) 是 y=-2x+1 图象上一对“对偶点”，可得 -2(2n-1)+1=-n. 解得 n=1 业此时 x1+y1=0 ，不符合“对偶点”定义，故判断 ② 正确.
设 和 (-t2-t+1,λ-t) 是函数 y=x2+ x-1 的图象上的“对偶点”，故 (-t2-t+1)2+(-t2-t+1)- l=-t ，解得 χt 的值，可知(1，1)和 (-1,α-1) 是一对“对偶点”，判断函数 y=x2+x-1 的图象上只有一对“对偶点”，故判断 ③ 错误.
（2）由题意，可以求出两个一次函数的解析式分别为 y=x+b1,y=x+b2 ，画出图象，由三角形面积公式可得面积之和
（3）由题意，可得 a≠0 ，且 x1≠-y1 时，可得 1-1=0.当△=8a-3=0时，可得𝑥1+y1=0 ．此时不符合题意，这种情况舍去．故必有 8a-3>0，解得a>³ g
题源分析：《标准》将“创新意识”作为数学核心素养在义务教育阶段的主要表现之一.新的数学对象、数学理论、数学应用也都处于人类不断寻求和设计之中.数学学习过程中的创新更多的是一种“再创造”的过程，即源自对已有的数学知识方法的再探索，对已有的日常生活经验或现实世界的再抽象．学生通过探究学习已经掌握关于原点对称的两点 与 ，满足 x1+x2=0,y1+y2=0 ，即 (x1+x2)2+ (y1+y2)2=0 ．该题以此为背景，定义“对偶点”满足(x1+y2)2+(x2+y1)2=0 ，且 x1+y1≠0 ，接着给出“对偶函数”的定义，从新角度探究初中阶段所学的反比例函数、一次函数和二次函数的性质．解此类题时，学生常见的失误是不能正确理解新定义，不能通过代数抽象和推理将原题转化为熟悉的问题.
类题赏析：2025年中考数学试卷中数与代数领域的创新性试题引人注目．例如，江西卷第22题引入新定义“不动点函数”，考查一次函数、二次函数和一元二次方程的应用；重庆卷第16题引人新定义“十全数”，考查代数式的表示、运算能力和推理能力；湖北卷第24题以二次函数为载体，引入新定义“抛物线弧”和“特征矩形”，着重考查数形结合和分类讨论的数学思想方法；福建卷第24题以“两个正数的积与商的位数探究”为主题，将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，综合考查判断命题的真假、科学记数法、整数指数幂、幂的运算、不等式的基本性质、代数推理等基础知识.
拓展练习：（安徽卷）对于正整数 n ，根据 n 除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数 m ：若余数为0，则 ；若余数为1，则 m=2n ；若余数为2，则 m=n+1 ，这种得到 m 的过程称为对 n 进行一次“变换”对所得的数 m 再进行一次变换称为对 n 进行二次变换，依此类推．例如，正整数 n=4 ，根据4除以3的余数为1，由 4×2=8 知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由 8+1=9 知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由 9÷3=3 知，对4进行三次变换得到的数为3.
（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为
（2）若对正整数 n 进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的 n 的值之和为
答案：（1）2；（2）11.
二、优秀试题分析
1.深化代数推理，提升运算素养有些试题通过定义新概念、归纳新规律，引导学生经历“提出问题一分析探究一推广延伸一拓展迁移”的完整探究过程，要求学生用数学符号表达事物的性质、关系和规律，运用数与式的性质、运算与关系，研究数量关系，探索并概括数学规律，进而解决实际问题．此类试题体现了从特殊到一般、由具体到抽象的数学研究路径，能够有效考查学生的抽象能力、推理能力和运算能力
例5（福建卷）阅读材料，回答问题.
【主题】两个正数的积与商的位数探究.
【提出问题】小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式 *46×2=92 ：35×21=735 ； 663×11=7293 ； 186×362=67332∘ 猜想： Ωm 位的正整数与 n 位的正整数的乘积是一个(m+n-1) 位的正整数.
【分析探究】问题1：小明的猜想是否正确？若正确，试给予证明；否则，试举出反例.
【推广延伸】小明的猜想激发了初中生小华的探究热情，为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为 a×10n ，则称这个数的位数是 n+1 ，数字是 a
借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题.
命题：若正数 A ， B ， C 的位数分别为 m ， 数字分别为 Ψa ， b ， ∣c∣ ，且 A×B=C ，则必有 c⩾a 且c⩾b ，或 c
证明：依题意知， A ， B ， C 用科学记数法可分别表示为 a×10m-1 ， b×10n-1 ， c×10p-1 ，其中 ， ∣c∣ 均为正数.
由 A×B=C ，得 ab×10m+n-2=c×10p-1 即 (*）当 c⩾a 且 c⩾b 时， ，所以 又因为 ，所以 由 (*) 知， ，所以 p=m+n-1 当 c⩾a 且 c 所以
所以 ，与 (*) 矛盾，不合题意.当 c
当 c
【拓展迁移】问题2：如果正数A， B 的位数分别为m ， n ，那么 的位数是多少？证明你的结论.
（1）解决问题1;
(2）试把 ①② 所缺的证明过程补充完整；
(3）解决问题2.
题意理解：该题以探究两个正数的积与商的位数关系为背景，考查学生运用字母表示数的能力，以及基于符号进行运算和推理，进而发现新问题、总结新规律的综合素养.第(1)小题要求学生举出反例，体现代数推理的严谨性；第(2)小题引导学生通过类比解决问题，考查其阅读理解和类比应用的能力；第(3)小题借助乘法与除法的互逆关系，考查学生的知识迁移与拓展能力.
思路探求：（1）举出反例，涉及进位与否，可以考虑每个位置的值都取数值比较大的数或比较小的数，如 99×9 .(2）类比当 c⩾a 且 c⩾b 时和当 c⩾a 且c ， c 的大小关系和取值范围求出 的范围，结合10的整数幂的取值情况得出关系和规律．（3）考虑到乘法和除法的互逆关系，设 ，A， B ， C 的数字分别为 a ， b ， c ， C 的位数为 x ，则 B×C=A 利用第(2)小题的结论得出答案和证明.
解：（1）小明的猜想不正确.
反例： 3×4=12 ， 99×9=891 ，等等.
(2) ① 因为 所以
（20号所以 ，与 (*) 矛盾，不符合题意.② 因为 ，所以
因为 ，所以
由(*)，知 ，所以 p=m+n
(3）当 A 的数字大于或等于 B 的数字时， 的位 数是 m-n+1 ；当 A 的数字小于 B 的数字时， 的位
数是 m-n ：
证明：由已知， A ， B 的位数分别为 m ， n ，设 A=C，A，B，C的数字分别为α，b，c，C的位数为 x ，则 B×C=A
由小华的命题知，当 a⩾b 时，必有 a⩾c 此时 m=n+x-1 ，所以 x=m-n+1 当 a
综上所述，当 A 的数字大于或等于 B 的数字时， 的位数是 m-n+1 ；当 A 的数字小于 B 的数字时， 的位数是 m-n
回顾反思：该题与人教版教材八年级上册第14章“整式的乘法与因式分解”中的数学活动和《标准》附录1中的例66“代数推理”类似，综合考查了命题真假的判断、科学记数法、幂的运算、不等式的基本性质等知识，以及分类讨论、转化与化归等思想.试题以从特殊到一般、从简单到复杂的顺序设置问题串，引导学生在数学情境中抽象出数、式等表达形式，并通过类比迁移解决问题．该题全面考查了学生的阅读理解能力、抽象能力、类比迁移能力及批判性思维，是一道区分度良好的优质试题.
拓展练习：（安徽卷）已知抛物线 y=ax2+bx （ a≠0 ）经过点（4，0）.
（1）求该抛物线的对称轴.
(2）点 和 分别在抛物线 y= ax2+bx 和 y=x2-2x 上（点A， B 与原点都不重合）.
① 若 ，且 x1=x2 ，比较 y1 与 y2 的大小；
② 当 时，若 是一个与 x1 无关的定值,求 a 与 b 的值.
答案：（1）该抛物线的对称轴是直线 x=2
2.强化模型观念，突出应用意识
有些试题以生产生活、学科融合或中国文化为背景，设计涉及方程、不等式与函数的问题，引导学生在真实情境中经历“提出问题一建立模型一求解验证一修正优化一解决问题”的完整数学建模过程．此类试题注重从具体情境中抽象出数学模型，并通过模型求解实际应用问题，旨在考查学生的数学建模能力
和应用意识.
例6（内蒙古卷）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．如图8，某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均 Ψa 秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个.
图8
（1）求a的值.
（2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个？
题意理解：该题以“智慧农业”为背景命制，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力，重点考查学生的抽象能力和模型观念.第(1)小题需要在理解“平均 a 秒采摘一个成熟的苹果”的基础上，列分式方程或一元一次方程进行求解；第(2)小题则在第(1)小题的基础上，综合机械手、机器人、工作时间、苹果数量等要素，建立一元一次不等式模型并求解.
思路探求：（1）根据“该机器人的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个”，可列出关于 a 的一元一次方程，解之即可得出结论.
(2）设需要 x 个这样的机器人，利用“1小时采摘苹果的总数量 Σ=Σ 每个机器人的一个机械手1小时采摘苹果的数量 ×4× 使用机器人的数量”，结合要求“1小时采摘的苹果个数不少于10000个”，可列关于 x 的一元一次不等式，解之可得 x 的取值范围，再取其中的最小整数值，得出结论.
解：（1）根据题意，得 25a=800-600 解得 a=8
(2）设需要 x 个这样的机器人，
根据题意，得 （2
解得x≥50
因为 x 为正整数，所以 x 的最小值为6
答：至少需要6个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个.
回顾反思：该题考查了分式方程、一元一次方程及一元一次不等式在实际情境中的应用.第(1)小题需根据题意识别等量关系，建立一元一次方程；第(2)小题需综合认识各数量之间的逻辑关系，列一元一次不等式．该题对学生思维的严谨性要求较高，第(1)小题以“秒”为单位，而第(2)小题以“小时”为单位，解题过程中必须进行单位换算．此外，第(2)小题要求采摘苹果的数量不少于10000个，且结果需为整数，应根据实际意义对计算结果进行向上取整.
拓展练习：（广西卷）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称“高速费”）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如表2所示.
表2
（1）周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为 a 元、 b 元和 c 元．此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代数式表示.）
（2）周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回A市，高速费实付95.95元.求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元.
答案：（1）此次行程实际支付高速费用（ ⋅95a+ 0.5c, 元，优惠了 (0.05a+b+0.5c) 元.
（2）此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元.
3.聚焦问题情境，凸显函数思想
有些试题以新定义、运动关系、生产生活等情境为背景设计函数问题，引导学生从具体情境中抽象函数关系，运用函数的图象与性质求解问题，引导学生理解函数是描述变量间依赖关系的本质，领悟模型构建过程，体会函数的意义与价值，考查学生的模型观念和创新意识
例7（湖北卷）抛物线 与 x 轴相交于点 A(-1, 0) 和点 B ，与 y 轴相交于点 C ， T 是抛物线的顶点， P 是抛物线上一动点，设点 P 的横坐标为 χt 业
(1）求 ∣c∣ 的值.
（2）如图9，若点 P 在对称轴左侧，过点 P 作对称 轴的垂线，垂足为点H，求PH 的值.
图9
（3）定义：抛物线上两点 M ， N 之间的部分叫作抛物线弧MN（含端点 M 和 N .过点 M ， N 分别作 x 轴的垂线 l1 ， l2 ，过抛物线弧 MN 的最高点和最低点分别作 y 轴的垂线 l3 ， l4 ，直线 l1 ， l2 ， l3 与 l4 围成的矩形叫作抛物线弧MN的特征矩形.若点 P 在第四象限，记抛物线弧 CP 的特征矩形的周长为f.
① 求f关于 t 的函数解析式；
② 过点 P 作 PQ//Ox ，交抛物线于点 Q ，点 Q 与点 C 不重合．记抛物线弧 cQ 的特征矩形的周长为 g 若 f+ ，直接写出 PQ 的长.
题意理解：该题用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，由此得出二次函数图象的顶点坐标；利用点的坐标表达简单几何量的特征；根据函数图象分析出实际问题中变量的关系，通过分析实际问题的情境，找出变量之间的数量关系及变化规律，确定函数表达式．该题有效考查了数形结合、分类讨论、转化等数学思想方法，考查了学生运算能力、几何直观、推理能力等素养水平.
思路探求：第(1)小题考查代人点的坐标求参数的值；第(2)小题考查利用点的几何意义转化线段PH，TH，以及代数式的化简；第(3)小题基于“抛物线弧”“特征矩形”的定义，先是建立f与t的函数关系，然后引入与 x 轴平行的弦 PQ ，探究两个动抛物线弧的特征矩形的周长之和的变化规律，定量探讨PQ的长的特征，
解第(1)小题时，将点 A(-1, 0) 代入抛物线的解析式，得到关于 c 的方程，解出 的值.解第(2)小题时，由 ，得到顶点 T(1,-2) ，再结合点 P ， T 。（剩余16866字）
