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◆摘要：采用鲍建生的数学题综合难度模型，分别从探究、背景、运算、推理以及知识含量等五个方面对人教版小学数学教科书“式与方程”习题进行分析。由此得出增加探究习题，激发求知欲望;巧用背景素材，体会数学价值;挖掘习题深度，培养推理能力;理解方程本质，强化思维能力;侧重知识综合，深化建模思想。

◆关键词：小学数学;教科书;式与方程;习题难度

改革开放初期，教育部颁布的《全日制十年制学校小学数学教学大纲（试行草案）》中首次加入了“简易方程”，这是小学数学引进代数知识的标志性内容。距离新一轮基础教育课程改革发布的《义务教育数学课程标准（2011年版）》已有三十多年，在此期间，小学数学教科书已逐渐演变成了具有自身特色，比较独立和完善的教材体系。“式与方程”在小学数学教学内容中占据着至关重要的位置，它是学生从算数学习到代数学习的转变，从对“数量”的理解到对“关系”的探讨，是中学代数学习的重要基础。因此本研究以2012年教科书为例，将人教版小学数学教科书“式与方程”习题进行难度分析。

一：研究设计

本研究采用鲍建生数学题难度模型，将2012年人教版小学数学教科书中的“式与方程”习题分别从探究、背景、运算、推理以及知识含量等五个难度因素进行量化，分析其难度特点。

（一）研究对象

以2012年人教版小学数学教科书为研究对象，以“式与方程”为主题。“式与方程”主要包括用字母表示数、简易方程和列方程解应用题等内容。（其内容安排与习题分布的具体情况如表1所示）

此外，在学习完“式与方程”后出现的含有未知数或明确标明用方程解的习题也均作为本文的研究对象。

（二）研究难度模型

本研究将采用鲍建生的数学题综合难度模型，此模型由五个难度要素组成，分别是探究、背景、运算、推理以及知识含量，每个难度要素划分为3-4个不同的水平，将不同的水平由低到高依次赋值1，2，3，…，将其作为权重，如“探究”因素分为“识记”、“理解”和“探究”三个水平，它们则分别赋值1，2，3。（如表2所示）

通过此模型，根据以下公式计算每一组题目在每个因素上的加权平均值。

其中di依次表示探究、背景、运算、推理、知识含量等五个因素上的取值，dij为第i难度因素的第j个水平的权重（依次取1，2，3，4，5），nij则表示这组题目中属于第i个难度因素的第j个水平的题目个数，其总和等于该组题目的总n。

二、人教版小学数学教科书“式与方程”难度分析

（一）探究水平的分析

探究水平分为“识记、理解、探究”三个水平，依次赋值“1、2、3”。（其具体界定标准如表3所示）

将2012年小学数学教科书“式与方程”习题分别在“探究”因素的三个水平上进行了数量统计。（其统计结果如表4所示）

根据以上数据可以看出，“识记”水平和“理解”水平的习题分别占所有习题的41.3%和46.8%，二者百分比差异不大，仅差五个百分点。而“探究”水平的习题则相对较少，仅占全部习题的11.9%。“识记”水平的习题主要是对基础知识的考查，难度较低。“理解”水平和“探究”水平的习题考查的是学生对知识的应用情况，它们的难度是循序渐进、逐步提高的。探究性习题能够激发学生的求知欲望，给予学生成就感，但由于这类习题的数量较少，学生得不到充足的练习，从而不利于探究能力的培养。

（二）背景水平的分析

背景水平分为“无实际背景、个人生活、公共常识、科学情景”四个水平，依次赋值“1、2、3、4”。（其具体界定标准如表5所示）

将2012年小学数学教科书“式与方程”习题分别在背景因素的四个水平上进行了数量统计。（其统计结果如表6所示）

通过以上数据得知，“式与方程”中有一半的习题是没有任何实际背景的，关于“个人生活”和“公共常识”的习题分别占全部习题的29.4%和23.8%。而“科学情境”的习题少之又少，仅占全部习题的1.6%。其中，“无实际背景”的习题主要是“省略乘号”、“用字母表示图形面积、运算定律”以及“解简易方程”的习题。此类型的习题主要考查学生对基础知识的掌握情况，但数量过多不易激发学生的学习兴趣。“新课标”要求“课程内容的选择要贴近学生的实际……要重视直观，课程内容的呈现要注意层次性和多样性”因此习题所设置的背景大多符合学生的实际生活，并且以图画或图画加文字的形式更加直观的呈现给学生，有利于学生体验和理解。习题的背景是培养学生情感态度、价值观的重要法宝，因此背景的选择则显得尤为重要。例如教科书中五年级上册练习十六的第6题，是以故宫和天安门广场的面积关系为背景，根据故宫的面积求出天安门广场的面积。这道习题既让学生巩固了数学知识，又能让学生对故宫和天安门有了一定的了解，具有现实的意义，有利于提高学生的学习兴趣。科学技术在现代社会得到了广泛的应用，科学意识在基础教育中的渗透也非常重要，然而“式与方程”中以科学情境为背景的习题却很少，这不利于培养学生的科学意识，因此“科学情境”水平的习题还有待增加。

（三）运算水平的分析

运算水平分为“无运算、数值运算、简单符号运算、复杂符号运算”四个水平，依次赋值“1、2、3、4”。（其具体界定标准如表7所示）

将2012年小学数学教科书“式与方程”习题分别在运算因素的四个水平上进行了数量统计。（其统计结果如表8所示）

根据以上数据可以看出，“式与方程”中的习题主要以符号运算为主，其中，简单符号运算的习题最多，占所有习题的42.8%，而复杂符号运算的习题则相对较少，占所有习题的17.5。这类习题考查学生解决含有多个运算步骤的方程的能力。“无运算”与“数值运算”的习题分别占所有习题的23.8%和15.9%。“无运算”水平的习题主要考查用字母表示常见数量关系以及方程的概念和性质。“数值运算”的习题大多是用字母表示数以及将未知数对应的数值代入式子中，也有少数不含未知数的计算题，目的是提升学生的计算能力。在整体运算水平上，习题具有层次性，不同运算水平的习题分布也较为均匀。可以看出，教科书比较侧重学生运算能力的培养。

（四）推理水平的分析

推理水平分为“无推理、简单推理、复杂推理”三个水平，依次赋值“1、2、3”。（其具体界定标准如表9所示）

将2012年小学数学教科书“式与方程”习题分别在推理因素的三个水平上进行了数量统计。（其统计结果如表10所示）

通过以上数据可以看出，大多数习题是不需要推理就能解决的，有11.9%的习题需要进行简单的推理，而仅有3.2%的习题需要进行复杂推理。需要进行推理的题目较少，其原因可分为两方面，一方面是学生首次接触方程知识，所以需要推理的习题不多;另一方面，由于大多数习题只需要计算，也导致了推理题目的减少。而推理习题的不足会影响学生逻辑推理能力的培养，因此“推理”水平的习题应适当增加。

（五）知识含量的分析

知识含量分为“1个知识点、2个知识点、3个及以上知识点”三个水平，依次赋值“1、2、3”。（其具体界定标准如表11所示）

将2012年小学数学教科书“式与方程”习题分别在知识含量的三个水平上进行了数量统计。（其统计结果如表12所示）

通过以上数据可以看出，“式与方程”中过半的习题综合了两个知识点，42%的习题只包含单个知识点，仅有4.8%的习题综合了三个知识点。单个知识点的习题更多的是考查这一单元基础性知识，比如方程的概念和性质、解方程以及用字母表示数等。含有“2个知识点”和“3个以上知识点”的习题比较注重知识的综合性，有利于培养学生运用多个知识解决问题，提高学生对知识的掌握程度。

（六）综合难度的分析

对前面五个难度因素的不同水平的题目数量进行了统计，并利用各水平等级量表计算各因素的加权平均。（所得结果汇总成表13）

由此得到人教版小学数学教科书“式与方程”习题难度的如下直观模型（如图1所示）：

从总体而言，“式与方程”习题更加注侧重“运算”因素，这是源于方程本身的特点。涉及推理的习题数量较少，其中关于复杂推理的习题最少。习题在知识含量上更多的是包含一到两个知识点，较少综合多个知识点。很多考查基础性知识的习题没有设置任何实际背景，在有实际背景的习题中，有些是离学生生活实际较远的，不便于学生理解，并且关于“科学背景”的习题较少，不利于丰富学生的科学知识。 然而，这五个难度因素达到怎样的难度取值才适中，仍有待探究。

三、启示

（一）增加探究习题，激发求知欲望

在“式与方程”习题中，更加注重学生对概念、性质的识记以及对知识的简单理解，侧重对学生基本知识和基本技能的培养。而对于学生所学知识的探究性应用，则关注较少。“识记”水平的习题过于基础性，适当的练习可以巩固学生的基础知识，而数量过多会则使学生感到枯燥乏味，缺少挑战性。而探究性习题则恰恰相反，恰当的探究问题能够激发学生的好奇心和求知欲，引导学生积极思考，培养学生完整的思考能力及逻辑方法，提高学生的探究意识。同时也具有挑战性，可以使学生获得成就感，因此应适当减少“识记”水平的习题，增加“探究”水平的习题，使学生在掌握基本知识的基础上能够得到更深层次的练习，激发学生对知识的求知欲望。

（二）巧用背景素材，体会数学价值

“式与方程”中有一半的习题是没有任何实际背景的，无背景的习题数量过多会降低学生的学习兴趣，不利于学生情感态度的培养。而“科学情境”水平的习题也大量缺失，这些都导致了习题在“背景”因素上的不足。设有背景的习题，对学生的阅读能力和理解能力都有一定的要求，因此背景素材的选择则显得至关重要。在习题背景的选择上应更多考虑学生的现实情况，尽量选择便于学生理解的素材，并且这些背景素材应具有真实性。习题设置背景不仅能够使学生获得更多的知识，也能够培养学生的思维能力，提高应用意识。将数学与其他领域的知识进行更多的结合，让数学体现出更多的价值。“科学情境”水平的习题中包含了大量的科学知识，能够体现出数学创新性的应用价值。因此应适当减少“无背景”的习题，将更多的习题赋予背景，增加以“科学情境”为背景的习题。从而丰富学生的科学知识，提高数学的应用价值。

（三）理解方程本质，强化思维能力

“式与方程”习题主要是以符号运算为主，比较注重培养学生的符号意识和运算水平，由于小学生对新鲜事物的接受能力也较差，在此之前学过的运算都是利用四则运算解决的，因此在初次接触方程时，难以理解方程的本质，难以熟练的运用等式的性质解方程，易导致学生机械性地解方程，虽然运算步骤不会错，但解题的灵活性不足，遇到信息量较大的问题时，则不会主动运用方程解决问题，因此学生对方程本质的理解则显得至关重要，从最初的方程概念的表层认知，逐步转变为对方程概念的本质揭示，逐步引导学生的思维发展。只有深刻理解了方程的本质，才能在根本上提升学生的思维能力，面对较复杂的应用题时，能够主动运用方程，轻松自如地根据已知条件和未知条件列方程、解方程。

（四）挖掘习题深度，培养推理能力

学生首次接触“式与方程”，在习题设置中主要是以符号运算为主，较少出现“推理”水平的习题。新课标明确要求“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中”，并且在最新PISA2021的数学能力框架中，学会数学地推理是学生数学素养的一个核心部分。小学阶段是小学生推理能力培养的起始阶段，而教科书中的“式与方程”是发展学生合情推理能力的主要领域之一，因此在学生掌握所学知识的基础上，应适当挖掘习题的深度，增设一些“推理”水平的习题。其中，“简单推理”水平的习题应适当增加多一些，“复杂推理”水平的习题相对增加少一些，使不同水平的学生都能进行推理习题的训练，从而使所有学生都能提高逻辑推理能力。

（五）侧重知识综合，深化建模思想

“式与方程”中习题注重建模思想的渗透。但由于习题中涉及的知识点较少，大多只包含一至二个知识点，学生利用方程只能解决一些简单的问题。在学生已经能够利用方程熟练解决简单的应用题后，应适当增加习题中的知识点，使学生不局限在只用方程解决一些简单的问题，可以综合多个知识点建立数学模型，解决数学问题，从而使学生对建模思想有更深刻的理解和体会，还能加深学生对各个知识点的理解。学生数学知识不断丰厚、不断建模的过程，也是数学经验循环再生的过程，并且这个过程也能够有效提高学生对知识的综合应用能力以及问题解决能力。

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