摘 要：为了取得准确的分析结果，不仅要准确测量，而且还要正确记录与计算。所谓正确记录是指记录数字的位数。因为数字的位数不仅表示数字的大小，也反映测量的精确程度。有效数字具体地说，是指在分析工作中实际能够测量到的数字。能够测量到的是包括最后一位估计的，不确定的数字。我们把通过直读获得的准确数字叫做可靠数字；把通过估读得到的那部分数字叫做存疑数字。把测量结果中能够反映被测量大小的带有一位存疑数字的全部数字叫有效数字。

关键词：准确测量；正确记录；有效数字

一、有效数字的含义及位数

为了取得准确的分析结果，不仅要准确测量，而且还要正确记录与计算。所谓正确记录是指记录数字的位数。因为数字的位数不仅表示数字的大小，也反映测量的精确程度。

如某物长0.5m，其中0.5是正确的，0位可疑，假设0.502是由0.52近似得来的，也就是说，此物长的绝对误差为-0.02，相对误差为：[δ=∣-0.002∣0.50×100%=0.4%]。

若写成0.5m，假设0.5是由0.52近似得来的，也就是说，此物长的绝对误差为-0.02，相对误差为：[δ=∣-0.02∣0.50×100%=4%]。

可见，多一位或少一位零，从数字角度考虑关系不大，但反映的精密程度前者却是后者的10倍。

有效数字具体地说，是指在分析工作中实际能够测量到的数字。能够测量到的是包括最后一位估计的，不确定的数字。我们把通过直读获得的准确数字叫做可靠数字；把通过估读得到的那部分数字叫做存疑数字。把测量结果中能够反映被测量大小的带有一位存疑数字的全部数字叫有效数字。

另外在数学中，有效数字是指从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。就是一个数从左边第一个不为0的数字数起到末位数字为止，所有的数字（包括0，科学计数法不计10的n次方），称为有效数字。简单的说，把一个数字前面的0都去掉，从第一个正整数到精确的数位止所有的都是有效数字了。

例如：1.0006，0.5000，0.678，0.00678，32.008，2.017×106，0.0002%这七个数字的有效数字分别是5个，4个，3个，3个，5个，4个，1个。

二、有效数字的修约规则

在处理数据过程中涉及的各测量值的有效数字位数可能不同，因此需要按下面所述的计算规则，确定各测量值的有效数字位数。各测量值的有效数字位数确定之后，就要将它后面多余的数字舍弃。舍弃多余数字的过程称为“数字修约”，它所遵循的规则称为“数字修约规则”。在过去，人们习惯采用“四舍五入”数字修约规则，现在则通行“四舍六入五成双”规则。四舍五入规则的最大缺点是见五就进，它必然会使修约后的测量值系统误差偏高。而采用“四舍六入五成双”规则，逢五时有舍有入，则由五的舍入所引起的误差本身可自相抵消。

1.拟舍弃数字的最左一位数字小于或等于4时则舍去，即保留的各位数字不变。

练习1：将数字12.1498修约到一位小数。

解：12.1498→12.1。

练习2：将数字12.1498修约成两位有效数字。

解：12.1498→12。

2.拟舍弃数字的最左一位数字大于或等于6时则进一，即保留的末位数字加1。

练习3：将数字12.1498修约到两位小数。

解：12.1498→12.15。

练习4：将数字7.396修约到两位小数。

解：7.396→7.40。

3.拟舍弃数字的最左一位数字是5，而其后跟有并非全部为0的数字时，则进一，即保留的末位数字加1。

练习5：将数字2.451修约到两位有效数字。

解：2.451→2.5。

练习6：将数字10.502修约到个位数。

解：10.502→11。

4.拟舍弃数字的最左一位数字为5，而后面无数字或皆为0时，若所保留的末位数字为奇数（1，3，5，7，9）则进一，为偶数（0，2，4，6，8）则舍弃。

练习7：将数字1.4500修约到一位小数。

解：1.4500→1.4。

练习8：将数字0.375修约到两位小数。

解：0.375→0.38。

注：（1）在修约数字时，只能对原始数据修约到所需位数，而不能连续修约。例如：要把17.46修约为两位数，只能一次修约为17，而不能写成17.46→17.5→18。

（2）对于负数的修约规则，先将其取绝对值而后按照正数的修约规则进行修约，最后加上负号就可以了。

三、有效数字的计算规则

1.有效数字的加减法计算规则。几个数相加减时，和或差的有效数字的保留，应以小数点后位数最少的数据为依据，即决定于绝对误差最大的那个数据。例如：0.0121+25.64-1.05782=24.59428。应以25.64为依据，即原式≈25.59。

2.有效数字的乘除法计算规则。几个数据相乘或相除时，它们的积或商的有效数字位数的保留必须以各数据中有效数字位数最少的数据为准。例如：1.54×31.76=48.9104≈48.9。

在乘除运算过程中，首位数为“8”或“9”的数据，有效数字位数可多取1位。例如：8.37的有效数字是三位，可以看作是四位；0.09812的有效数字是四位，可以看作是五位。

3.有效数字的乘方和开方计算规则。对数据进行乘方或开方时，所得结果的有效数字位数保留应与原数据相同。例如：6.772=45.1584≈45.2（保留3位有效数字），[9.65=3.10644……≈3.11]（保留3位有效数字）。

4.有效数字的对数计算规则。所取对数的小数点后的位数（不包括整数部分）应与原数据的有效数字的位数相等。例如：[log102=2.00860017≈2.009]（小数点后保留3位有效数字）。

5.对于一些分数、常数、自然数可以视为足够有效，不考虑其位数。

6.在混合计算中，有效数字的保留以最后一步计算的规则执行。